المنطق الرياضي
علاقتي بالمنطق الرياضي
- رغم أنني لست متخصصا في المنطق الرياضي إلا أنني ككل أفراد المجتمع الرياضي لا أستخدم في أبحاثي منطقا سواه.
- يتعلم طلاب الرياضيات في الأسابيع الأولى من دراستهم ما يعرف ب«منطق القضايا» (propositional logic)، وهو ما يطلق عليه أيضا منطق الرتبة صفر .هذا المنطق هو تجريد لمبادئ الاستدلال في المنطق الأرسطي.
- يتعلم الطلاب بعد ذلك المبادئ الأساسية لمنطق الرتبة الأولى (المنطق الإسنادي = predicate logic).
- يحدث ذلك عادة بشكل مقتضب ضمن محاضرة الجبر الخطي أو محاضرة التحليل حتى يتسنى له فهم نسق البراهين الرياضية.
- كنت من الطلبة القلائل في دفعتي الذين حضروا محاضرة متقدمة نسبيا عن المنطق الرياضي في السنة الثانية من دراستي، حيث أن ذلك لم يكن إلزاميا. تم التطرق في هذه المحاضرة لمواضيع متخصصة كمبرهنة جودل لاكتمال منطق الرتبة الأولى.
- وبسبب استخدامي لنظرية الأصناف بشكل موسع في أبحاثي، تقاطعت اهتماماتي بشكل غير مباشر مع بعض تطورات المنطق الرياضي.
- هذا يعني أنني سأتكلم هنا بصفتي مستخدم ومتابع لبعض تطورات المنطق الرياضي، وليس كمتخصص.
قبل أن نبدأ
- الرياضيات ليست من العلوم الطبيعية، وإنما هي علم شكلي (formal science)، تمكن الرياضيون منذ نهايات القرن التاسع عشر من صياغته، أو بالأدق إعادة صياغته بشكل منفصل تماما عن الكون المدرك.
- رغم ذلك فإن جزءا كبيرا من النجاح الفائق للرياضيات يعود الى دورها المحوري في نجاح تطبيقاتها المخلتفة في الهندسة والميكانيكا والفلك والتكنولوجيا والاقتصاد ومختلف أفرع العلوم الدقيقة، وبالأخص علم الفيزياء.
- اليوم سأتحدث عن المنطق الرياضي وهو منطق استنباطي وليس استقرائي.
- المنطق الاستقرائي له دور في العلوم الطبيعية حينما تحاول إسقاط الرياضيات على الكون المدرك.
- كان لعلماء الحضارة العربية الإسلامية دور كبير في تطوير المنطق الاستقرائي، وأخص بالذكر فخر الدين الرازي، والذي سبق فرانسيس بيكون بقرون.
- رغم أدوار المنطقين الاستقرائي والإحصائي المهمة في العلوم الطبيعية وفي مختلف نواحي الحياة البشرية إلا أن حديثي اليوم سيقتصر على التمثيل الرياضي للمنطق الاستنباطي.
من أرسطو إلى لايبنيتس
- إفتقرت الرياضيات منذ طفرتها الكبيرة على يد المدرسة الإغريقية لعاملين أساسيين:
- أولا، منطقا رياضيا يشمل كل أنواع الاستدلال المنطقي المستخدم في الرياضيات منذ تلك الأزمنة.
- ثانيا، نظرية تأسيسية تسمح بصياغة أفرع الرياضيات المختلفة كالهندسة (geometry) وعلم الحساب (arithmetic) بشكل موحد ومنفصل انفصالا كاملا عن الكون المدرك الذي يخضع إدراكه لحواسنا المحدودة ولمنطقنا الاستقرائي القاصر.
- فبالرغم من أن أعمال أرسطو كان لها تأثيرا واضحا على رياضيي عصره أمثال إقليدس السكندري، إلا أن قواعد الاستدلال في المنطق الأرسطي لم تكن بأي حال من الأحوال كافية حتى لرياضيات تلك الحقبة.
- فمثلا اضطر إقليدس في كتابه «الأصول» (والترجمة الأدق هي «العناصر») أن يستخدم منطقا أوسع من المنطق الأرسطي، دون أن يقوم بدراسة هذا المنطق بشكل مستقل.
- يعود السبب في ذلك إلى أوجه قصور المنطق الأرسطي المختلفة والتي سنسرد منها اثنين فيما يلي:
- أولا، عدم سهولة التعبير عن العلاقات، ففي حين يمكن التعبير عن الصفات كما في جملة «ن نقطة»، فإنه يصعب التعبير عن العلاقات كما في جملة «ن نقطة على الخط الواصل بين النقطتين م، ل».
- ثانيا، عدم قدرته على صياغة جملة تحتوي على أكثر من مكمم منطقي كما في جملة «لكل نقطة ن يوجد خط خ يمر عبر ن». ففي هذه الجملة المكمم الأول هو «لكل» والثاني هو «يوجد».
- تطورت الرياضيات بشكل كبير منذ نهايات القرن السابع عشر:
- بدأ ذلك التطور بنشأة التحليل الرياضي ومصطلحات التفاضل والتكامل على يد لايبنيتس ونيوتن بشكل متواز.
- إزداد هذا التطور بمساهمات من كبار علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر والتاسع عشر كأفراد عائلة برنولي، أويلر، لاجرانچ، جاوس، بولتسانو، كوشي، آبل، ياكوبي، ديريشليت، هاميلتون، جالوا، ڤايرشتراس، كيلي، ريمان.
- حتى وإن كانت التطبيقات الهندسية والفيزيائية وخصوصا ميكانيكا الحركة والجاذبية والفلك من أهم أسباب تطوير التحليل الرياضي منذ نهايات القرن السابع عشر، إلا أنه سرعان ما نشأت داخل الرياضيات أسئلة داخلية لا علاقة لها بأي تطبيق خارج الرياضيات، ساعدت بدورها على تطور الرياضيات بشكل غير مسبوق.
- ومع النجاح المتزايد للرياضيات صار إيجاد صياغة موحدة للمنطق الرياضي ضرورة ملحة. لم يتحقق هذا الحلم حتى نهايات القرن التاسع عشر، أي بعد ما يزيد عن ألفي عام من صياغة المنطق الأرسطي.
- مع بداية الثورة الفكرية والعلمية في أوروبا في القرن السادس عشر اقترح عدد من الفلاسفة والرياضيين حلولا لتفادي قصور المنطق الأرسطي ومنهم ديكارت في القرن السادس عشر ولايبنيتس في القرن السابع عشر وكانط في القرن الثامن عشر. كان أنجح هذه الحلول هو اقتراح لايبنيتس.
من لايبنيتس إلى بوول
- كان المنطق قبل لايبنيتس جزءا من الفلسفة، ولكنه بدأ منذ ذلك الحين في التحول تدريجيا إلي فرع من أفرع الرياضيات. فقد تحول المنطق من مهارة لحسم المناظرات وصقل لباقة المتكلم إلى أداة من أدوات الرياضيات والعلوم الطبيعية لتحقيق الهدف الأسمى في اكتشاف أسرار الكون.
- لايبنيتس كان في الأغلب أول من أدرك أن كل عمليات الاستدلال في المنطق الأرسطي والمنطق الرياضي الأوسع هي مجرد عمليات آلية، يمكن لآلة أن تقوم بها بشكل ميكانيكي. كان لهذه الفكرة العبقرية ان تنتظر قرنين حتى تتحقق بشكل كامل.
- بدأ حلم لايبنيتس بعد قرن ونصف في التحقق بشكل جزئي، أي في منتصف القرن التاسع عشر حين تمكن بوول من صياغة قواعد الاستدلال في المنطق الأرسطي بلغة جبرية بحتة، أي أنه صار من السهل تحويل عملية الاستدلال الي مجرد عملية حسابية فيما يعرف بجبر بوول (Boolen algebra).
- كان اكتشاف بوول اكتشافا مذهلا فاق توقعات لايبنيتس. فبعدما كان المنطق هو أساس الرياضيات، قلب بوول الآية فصار منطق القضايا حالة خاصة من الجبر.
- في لغتنا الحديثة يمكن صياغة إكتشاف بوول كالآتي: بإمكاننا كتابة برنامج حاسوبي يمكنه لكل نظرية مصاغة في منطق الرتبة صفر، ولكل فرضية مصاغة بلغة هذه النظرية أن يقرر إن كان لهذه الفرضية برهان انطلاقا من مسلمات النظرية أم لا، بل وأن يجد برهانا إن كان الجواب بالإيجاب.
من بوول إلى فريجه
- في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، ومع تزايد العلاقات المنطقية التي تفوق منطق القضايا، أيقن الرياضيون وأغلب الفلاسفة أن المنطق الأرسطي لما يعد كافيا.
- جاء فريجه في النصف الثاني من القرن التاسع عشر ليعمم إلى منطق الرتبة الأولى ما حققه بوول لمنطق القضايا، آخذا في الاعتبار المكممين الكلي والوجودي.
- يعتبر فريجه في أوساط المجتمع الرياضي أعظم علماء المنطق منذ أرسطو، ويقارن كتابه المسمى «Begriffsschrift» بأعمال أرسطو المسماة «أورجانون».
كانتور وميلاد أول نظرية تأسيسية للرياضيات
- صار غياب نظرية تأسيسية موحدة هو أكبر مشاكل الرياضيات، حتى تمكن كانتور في نهايات القرن التاسع عشر من صياغة نظرية المجموعات (set theory) والتي أدرك الرياضيون سريعا أنها ستمكنهم من صياغة كل الرياضيات، وأعني بذلك كل الرياضيات، بشكل موحد.
- لم يدم الأمر أكثر من بضع سنوات حتى وجد كانتور وتسرميلو ومن بعدهم راسل تناقضات منطقية في نظرية المجموعات.
- كان السبب في ذلك هو قدرة نظرية كانتور على تعريف مجموعة معينة على شكل مفارقة دائرية متناقضة كما في مفارقة الكذاب.
تسيرميلو وتنقية نظرية المجموعات من التناقضات البديهية
- في عام ١٩٠٨ نجح تسيرميلو في اقتراح مجموعة مسلمات جديدة لنظرية المجموعات حاول بها كسر قدرة النظرية على تحقيق مفارقات دائرية متناقضة.
- حتى الآن لم يتمكن المجتمع الرياضي من إيجاد تناقض في منظومة مسلمات تسيرميلو ولهذا تستخدم نظرية المجموعات حتى يومنا هذا كواحدة من أهم النظريات التأسيسية للرياضيات.
- نجح الرياضيون في إعادة صياغة كل أفرع الرياضيات بما فيها الجبر والتحليل والهندسة والإحصاء بشكل موحد مستخدمين نظرية المجموعات.
- وبالأخص نجح الرياضيون بعد أكثر من ألفي عام في إيجاد لغة رياضية موحدة لهندسة إقليدس السكندري ولعلم الحساب الذي طوره عالم الرياضيات ديوفانتوس السكندري.
من هيلبرت حتى جودل
- في عشرينات القرن العشرين كان جزءا كبيرا من حلم لايبنيتس قد تحقق. فقد تمكن المنطق الرياضي من تفكيك الجمل الرياضية بشكل كامل إلي رموز، فصارت قواعد الاستدلال هي أساس البراهين الرياضية دون الحاجة إلى معاني الرموز.
- في سنة ١٩٢٨ طرح هيلبرت، وهو أشهر علماء الرياضيات في القرن العشرين، مسألة القرار (Entscheidungsproblem) في المنطق الرياضي والتي تسائل فيها: هل يمكن تقرير وجود براهين في منطق الرتبة الأولى كما في منطق الرتبة صفر؟
- في سنة ١٩٣٠، أي بعد سنتين أثبت جودل ما يسمى كمال منطق الدرجة الأولى. تقول هذه المبرهنة أنه لكل فرضية صحيحة في كل نماذج النظرية، يوجد برهان في منطق الدرجة الأولى.
- لكي نفهم معنى نتيجة جودل يجب أن نفهم أن أي نظرية رياضية هي نظرية تصاغ برموز منطق الرتبة الأولى وتُعرَّف بعدد نهائي أو لانهائي من الجمل الرمزية التي تسمى مسلمات. من الطبيعي أن يوجد للنظريات الرياضية نماذج عديدة غير متكافئة. فإذا أخذنا مثلا هندسة إقليدس بدون مسلمة التوازي، فإنه يوجد نماذج رياضية غير متكافئة: في أحدهم تتحقق مسلمة التوازي، وفي أخرى يتقاطع أي خطين، وفي الثالثة يوجد لكل خط خ، ولكل نقطة ن لا تقع على خ، أكثر من خط يمر بالنقطة ن ولا يتقاطع مع خ.
- من أهم النظريات الرياضية هي نظرية پيانو للأعداد الطبيعية والتي تُعرَّف بعدد لانهائي من المسلمات (ولكنها قابلة للعد الخوارزمي) يطلق عليها مسلمات پيانو.
- في سنة ١٩٣١ أثبت جودل وجود نظريات رياضية بالقوة الكافية التي يمكن فيها صياغة جمل منطقية تقول عن نفسها أنها غير قابلة للإثبات انطلقا من مسلمات النظرية. يمكن القول بأن هذه الجملة هي تعبير عن مفارقة الكذاب بلغة هذه النظرية. في هذه النظريات لا يمكن بالطبع إثبات هذه الجملة أو عكسها بداية من مسلمات النظرية، إلا إذا كانت النظرية في الأساس متناقضة، ففي هذه الحالة يمكن إثبات أي شيء.
- يعني ذلك أن هذه النظريات غير كاملة بمعنى أنه لا يمكن أن يضاف إليها مسلمات بشكل خوارزمي حتى يمكن في النهاية إثبات أي جملة في هذه النظرية المعدلة أو إثبات عكسها.
- كانت المفاجأة أن نظرية پيانو للأعداد ونظرية تسيرميلو للمجموعات من ضمن هذه النظريات. تعرف هذه النتيحة بمبرهنة عدم الاكتمال الأولى لجودل.
- كانت المفاجأة الأكبر حين أثبت جودل أن هذين النظريتين بالقوة الكافية لصياغة جملة تقول عن النظرية نفسها أنها لا يمكن إثبات عدم تناقضها. يعني ذلك أنه من المستحيل إيجاد إثبات لعدم تناقض هذه النظريات المؤسسة للرياضيات من داخلها. تعرف هذه النتيجة بمبرهنة عدم الاكتمال الثانية لجودل.
من جودل حتى تيورينج
- جاء بعد ذلك تشيرش وتيورينج ليعرفا مفهوم الحوسبة ويجيبا بالنفي على مسألة القرار التي صاغها هيلبرت.
- من منظور الرياضيات الحديثة صارت نتائج جودل وتشيرش وتيورنج متوقعة، إذ أنها تنفي وجود حاسوب كلي القدرة على إيجاد براهين منطق الدرجة الأولى أو نفي وجودها.
- يتكون المنطق الحديث من عدة أفرع أكبرها نظرية الحوسبة، ونظرية البرهان، ونظرية النموذج، ونظرية المجموعات.
- في تطور لاحق نشأت نظرية الأصناف ثم نظرية الأنماط وتم اكتشاف ما يعرف بثلاثية الحوسبة التي تقول بوجود تكافؤ بين الحوسبة وبين نظرية الأنماط كصياغة حديثة للمنطق الرياضي وبين نظرية الأصناف كتعميم فائق لنظرية المجموعات. ثلاثية الحوسبة هي التحقيق الكامل لحلم لايبنيتس.
٨ يونيو، ٢٠٢١